Es folgt:
$\frac{1}{11}+\frac{7}{33}=\frac{3}{33}+\frac{7}{33}=\frac{10}{33}$ .
Demnach ist die Gleichung also richtig.
$\bullet$ Diese Gleichungen sind falsch
Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{27}$ an.
Dein Zähler ist 23. Daher erhalten wir den Bruch:
$0,\overline{27}=\frac{27}{99}$.
Die Zahlen $27$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $51$.
Beispiel:
$$0,bar(123)=123/999=41/333$$
Wenn du Brüche umwandelst, deren Nenner aus Neunen besteht, stellst du fest, dass du den Zähler als Periode erhältst.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist $33$, daher bringen wir den ersten Bruch auf den Nenner $33$. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $30$.
$$0,\bar(23)=23/99$$
Noch ein Beispiel:
$$0,\bar(023)=23/999$$
So wandelst du sofort-periodische Dezimalbrüche in Brüch um: Schreibe die Periode in den Zähler und in den Nenner so viele Neunen, wie die Periode lang ist.
Wenn die Division nicht aufgeht, erhältst du periodische Dezimalbrüche. Die Periode besteht hier aus drei Stellen, nämlich $252$.
Beispiel 1:
$$1/9=0,bar(1)$$
Beispiel 2:
$$7/99=0,bar(07)$$
Wandle $$0,\bar(123)$$ in einen Bruch um.
Weil die Periode 3 Ziffern lang ist, nimmst du das 1000-fache der Zahl:
$$0,\bar(123)*1000=123,\bar(123)$$
Von dieser Zahl kannst du $$0,\bar(123)$$ leicht abziehen.
a) \(0,\overline{331} = \frac{\square}{\square} \)
b) \(0,\overline{669} = \frac{\square}{\square} \)
c) \(0,\overline{6} = \frac{\square}{\square} \)
d) \(0,\overline{74} = \frac{\square}{\square} \)
e) \(0,\overline{84} = \frac{\square}{\square} \)
f) \(0,\overline{889} = \frac{\square}{\square} \)
g) \(0,\overline{21} = \frac{\square}{\square} \)
h) \(0,\overline{18} = \frac{\square}{\square} \)
i) \(0,\overline{89} = \frac{\square}{\square} \)
j) \(0,\overline{3} = \frac{\square}{\square} \)
k) \(0,\overline{068} = \frac{\square}{\square} \)
l) \(0,\overline{16} = \frac{\square}{\square} \)
m) \(0,\overline{20} = \frac{\square}{\square} \)
n) \(0,\overline{197} = \frac{\square}{\square} \)
o) \(0,\overline{90} = \frac{\square}{\square} \)
p) \(0,\overline{98} = \frac{\square}{\square} \)
q) \(0,\overline{1} = \frac{\square}{\square} \)
r) \(0,\overline{9} = \frac{\square}{\square} \)
s) \(0,\overline{225} = \frac{\square}{\square} \)
t) \(0,\overline{93} = \frac{\square}{\square} \)
Um die Gleichheit der Gleichungen zu verifizieren, müssen wir zunächst periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln.
Dein Nenner ist dann 99.
$0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ und $0,\overline{23} = \frac{23}{99}$
Anschließend müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden:
$\frac{3}{9} = \frac{3 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{33}{99}$.
Nun können die Brüche addiert werden und mit dem Ergebnis verglichen werden:
$\frac{33}{99} + \frac{23}{99} = \frac{56}{99} \neq \frac{19}{33}$.
Da $56$ und $99$ keinen gemeinsamen Teilen haben, kann der Bruch nicht mehr gekürzt werden.
Kürzen wir den Bruch durch $3$, so ergibt sich:
$\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Summe der beiden Brüche $\frac{1}{11}$ und $\frac{7}{33}$.
$\bullet$ Diese Gleichungen sind richtig:
Das obige Schema wenden wir nun auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{51}$ an.
Dabei kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
$$0,01bar(6)=\frac{15}{900}=\frac{1}{60}.$$
Im Nenner erhältst du so viele Neunen, wie die Periode lang ist, und dann so viele Nullen, wie Ziffern zwischen Komma und Periode stehen.
Beispiel 1: Wandle $$0,0bar(1)$$ in einen Bruch um.
Multipliziere mit $$10$$, dann erhältst du
$$10*0,0bar(1)=0,bar(1)=1/9$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe
$$0,0bar(1)=(1/9)/10=1/90$$.
Beispiel 2: Wandle $$0,00bar(1)$$ in einen Bruch um.
Multipliziere mit $$100$$, dann erhältst du
$$100*0,0bar(1)=0,bar(1)=1/9$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe
$$0,00bar(1)=(1/9)/100=1/900$$.
Beispiel 3: Wandle $$0,0bar(01)$$ in einen Bruch um.
Multipliziere mit $$10$$, dann erhältst du
$$10*0,0bar(01)=0,bar(01)=1/99$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe
$$0,0bar(01)=(1/99)/10=1/990$$.
Du kannst eine gemischt-periodische Dezimalzahl immer als Summe einer endlichen Dezimalzahl und einer periodischen Dezimalzahl schreiben
Beispiel 1:
Wandle $$2,4bar(3)$$ in einen Bruch um.
Zerlegen:
$$2,4bar(3)=2,4+0,0bar(3)$$
Die ganze Umwandlung:
$$2,4bar(3)=2,4 +0,0bar(3)=2 4/10 + 3/90= 2 12/30 +1/30=2 13/30$$
Beispiel 2:
Wandle $$0,08bar(3)$$ in einen Bruch um.
$$0,08bar(3)=0,08+0,00bar(3)=8/100+3/900=(24+1)/300=25/300=1/12$$
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Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $27$.Bei beiden Zahlen wiederholen sich dieselben Ziffern hinter dem Komma unendlich oft.
Wenn du vom Tausendfachen einer Zahl die Zahl einmal abziehst, hast du das $$999$$-fache der Zahl.
Du hast also herausgefunden:
$$\0,bar(123)*999=123$$
Wenn du die Umkehraufgabe bildest, erhältst du $$\0,bar(123)=123:999=123/999=41/333$$
Auf diesem Weg ist es dir gelungen, die sofort-periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln.
Mit dem gleichen Trick kannst du jede sofortperiodische Dezimalzahl umwandeln, bei einer dreistelligen Periode erhältst du im Zähler die Ziffern der Periode und im Nenner immer $$999$$.
Gemischt-periodische Dezimalbrüche umzuwandeln ist leider nicht so einfach…
So geht’s:
Wandle $$0,1bar(27)$$ in einen Bruch um.
Damit die Periode einmal vor dem Komma steht und sich dann hinter dem Komma unendlich oft wiederholt, multipliziere mit 1000:
$$0,1\bar(27)*1000=127,bar(27)$$
Von dieser Zahl kannst du nur eine sofortperiodische Zahl abziehen, also nicht die Zahl selbst, aber ihr Zehnfaches:
$$0,1\bar(27)*10=1,bar (27)$$.
Somit ist diese Gleichung falsch.
Du weißt, wie du vom Bruch zum Dezimalbruch kommst (Zähler durch Nenner teilen). Kürze, wenn nötig.
Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich:
$\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \neq \frac{4}{11} $.
Die Gleichung ist also falsch.
Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{252}$ an. Daher erhalten wir:
$0,\overline{30}=\frac{30}{99}$.
Die Zahlen $30$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$.
Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich
$\frac{252}{999}=\frac{28}{111} \neq \frac{18}{111}$.
Die Gleichung ist also falsch.
Zunächst müssen die periodischen Dezimalzahlen in Brüche umgewandelt werden. Daher erhalten wir folgenden Bruch:
$0,\overline{51}=\frac{51}{99}$.
Die Zahlen $51$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$.
Wie geht das andersrum?
$\frac{51}{99}=\frac{17}{33}$.
Die erste Gleichung ist also richtig.
Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{30}$ an.
Wie kommst du von einem periodischen Dezimalbruch zu dem zugehörigen Bruch?
Blick zurück: Nicht-periodische Dezimalbrüche kannst du schon umwandeln.
$$0,2=2/10=1/5$$
$$0,04=4/100=1/25$$
Du wandelst sofort-periodische Dezimalbrüche um, indem du „9er-Zahlen“ in den Nenner schreibst.
Wandle $$0,\bar(23)$$ in einen Bruch um.
Die Periode ist 2 Ziffern lang.
$0,\overline{252}=\frac{252}{999}$
Die Zahlen $252$ und $999$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$.
Bei beiden Zahlen wiederholen sich die Ziffern $$2$$ und $$7$$ hinter dem Komma unendlich oft:
Gemischt-periodische Dezimalbrüche kannst du umwandeln, indem du geschickt passende Vielfache voneinander abziehst und dann die Umkehraufgabe bildest.
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Wandle $$0,01bar(6)$$ in einen Bruch um.
Damit die Periode einmal vor dem Komma steht und sich dann hinter dem Komma unendlich oft wiederholt, multipliziere mit 1000:
$$0,01bar(6)*1000=16,bar(6)$$
Von dieser Zahl kannst du nur eine sofortperiodische Zahl abziehen, also nicht die Zahl selbst, aber ihr Hundertfaches:
$$0,01bar(6)*100=1,bar (6)$$.